\documentclass[10pt,a4paper,danish]{article}

\usepackage{times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsmath}
\usepackage{xspace}

\newcommand{\nats}{\ensuremath{\mathbb{N}}\xspace}
\newcommand{\reals}{\ensuremath{\mathbb{R}}\xspace}

\begin{document}

\section*{Opgave 2} 
\begin{itemize}
\item[a)] For ethvert $x \in \nats$ kan vi f.eks.\ vælge $y = x^2 +1$.\\
  D.v.s.\ $P$ er {\bf sandt}.
\item[b)] For $y=1$ findes der intet naturligt tal $x$, som opfylder
  uligheden. (Bemærk, at \nats i denne opgave ikke indeholder 0.)\\
  D.v.s.\ $Q$ er {\bf falsk}.
\item[c)] V.h.a.\ De Morgan fås:
  \begin{alignat*}{2}
  & \neg P 
    && \Leftrightarrow \\
  & \neg (\forall x \in \nats \colon \exists y \in \nats \colon x^2 < y)
    && \Leftrightarrow \\
  & \exists x \in \nats \colon \neg (\exists y \in \nats \colon x^2 < y)
    && \Leftrightarrow \\
  & \exists x \in \nats \colon \forall y \in \nats \colon \neg (x^2 < y)
    && \Leftrightarrow \\
  & \exists x \in \nats \colon \forall y \in \nats \colon x^2 \geq y
  \end{alignat*}
\item[d)] Da $P$ ifølge a) er sandt, er $\neg P$ {\bf falsk}.
\end{itemize}


\section*{Opgave 3}
\begin{itemize}
\item[a)] Funktionen $f$ er ikke injektiv, da f.eks.\ $f(-1) = 1 =
  f(1)$.
 Dermed er $f$ {\bf ikke} en bijektion, da det kræver, at $f$ er injektiv
  og surjektiv.
 (Funktionen er heller ikke surjektiv, da $\reals^-$ ikke er indeholdt
  i værdimængden.)
\item[b)] Da $f$ ikke er bijektiv, har den {\bf ikke} en invers
  funktion.
\item[c)] 
 Vi skal finde $g^{-1}(x)$, så 
  $$g(x) = y \; \Leftrightarrow \; g^{-1}(y) = x$$ 
  for alle $x \in \reals$.\\
 Da $g(x) = x+2$, svarer det til at isolere $x$ i ligningen $y = x+2$:
  $$y = x+2 \; \Leftrightarrow \; x = y-2$$
 D.v.s $g^{-1}(x) = x-2$.
\item[d)] $h(x) = (f \circ g)(x) 
                = f(g(x)) 
                = f(x+2) = (x+2)^2 
                = x^2+4x+4$
\end{itemize}

\end{document}
