DM549 - Diskrete Metoder til Datalogi
MM537 - Introduktion til Matematiske Metoder
MM540 - Matematiske Metoder for Økonomi (1. del)

Efterår 2020
Lene Monrad Favrholdt

Opgaver

Type Kursus Opgaver
Uge 37
E Alle
  • Afsnit 1.1: Opgave 1, 5, 13, 31, 33b-d
  • Hvilke af følgende udsagn er sande?
    1. Hvis \(p\) er sand, og \(q\) er falsk, er \(p \wedge q\) sand.
    2. Hvis \(p\) er falsk, er \(\neg p \vee q\) sand.
    3. Hvis \(p\) er sand, og \(q\) er falsk, er \(p \oplus q\) sand.
    4. Hvis \(p \vee q\) er sand, er \(p\) også nødvendigvis sand.
    5. \( p \vee q \) er sand, hvis og kun hvis \( p \) er sand.
    6. Hvis \(p \wedge q\) er sand, er \(p \vee q\) også sand.
    7. Hvis \(p \Rightarrow q\) er sand, og \(p\) er sand, er \(q\) også sand.
    8. Hvis \(p \Rightarrow q\) er sand, og \(q\) er falsk, er \(p\) også falsk.
  • Afsnit 1.3: Opgave 6, 7
Hvis der er tid:
  • Afsnit 1.2: Opgave 37, 39, 41
Uge 38
E Alle
  • Afsnit 1.3: Opgave 11, 19
    Det er OK at argumentere i stedet for at lave sandhedstabeller.
  • Angiv for hvert af de følgende par af udsagn, om (a) \(\Rightarrow\) (b), \(\,\) (b) \(\Rightarrow\) (a), \(\,\) (a) \(\Leftrightarrow\) (b) \(\,\) eller \(\,\) ingen af delene.
     (a) \(p \vee q\) (b) \(p \wedge q\)
     (a) \(\neg p \vee q\) (b) \(p \Rightarrow q\)
     (a) \(\neg (p \wedge q)\) (b) \(p \vee q\)
     (a) \((p \vee q) \wedge (p \vee r) \;\;\; \) (b) \(p \vee (q \wedge r)\)
     (a) \(\neg p \Rightarrow q\) (b) \(\neg q \Rightarrow p\)
  • Afsnit 1.4: Opgave 5, 10, 11, 15, 17, 54, 62
Hvis der er tid:
E Alle
  • Afsnit 1.5: Opgave 9 a-d, 19, 27 a-f og i, 30 a-c, 39
  • Afsnit 1.7: Opgave 1, 5
S Alle Lav de af følgende øvelser, som I finder mest relevante:
  • Hvis I har brug for at genopfriske regneregler, kan I bruge Bolster Academy (som beskrevet under Litteratur).
    Tag et kig på "Calculating with exponents and roots", "Expanding brackets", "Factorization", "Notable Products" og "Adding and subtracting fractions" (d.v.s. de første fem afsnit), og lav de øvelser, I har brug for.
  • Hjælp hinanden med at løse eksaminatorie-opgaverne til denne uge.
  • Løs nedenstående tidligere eksamensopgaver. Der ligger løsningsforslag til disse opgaver på kursus-hjemmesiden, men kig ikke på løsningsforslagene før til allersidst.
    1. Fordel opgaverne imellem jer.
      Når I hver især har skrevet en besvarelse til jeres opgave, bytter I med sidemanden.
    2. Læs den opgave, du har fået, grundigt, og giv konstruktive kommentarer.
      Overvej f.eks. følgende:
      Er løsningen korrekt?
      Argumenteres der tilstrækkeligt for alle skridt i løsningen?
      Har du nemt ved at forstå besvarelsen?
      Er der for få eller for mange detaljer?
      Hvad kunne evt. forbedres?
    3. Sammenlign jeres løsninger med løsningsforslaget på kursus-hjemmesiden.
Uge 39
E Alle
  • Gennemgå opgaverne fra Test 1
  • Afsnit 1.7: Opgave 18, 29, 36, 41, 43
  • Afsnit 1.8: Opgave 11, 32
  • Lad \(n \in \mathbb{N}\), og lad \(P(n)\) være udsagnet \(\sum_{i=0}^n 3^i = \frac12\left(3^{n+1}-1\right)\).
    Opgaven går ud på at bevise, at \(P(n)\) er sand for alle \(n \in \mathbb{N}\), ved hjælp af induktion.
    1. Hvad er udsagnet \(P(0)\)?
    2. Bevis \(P(0)\), d.v.s. udfør basisskridtet.
    3. Opskriv induktionsantagelsen.
    4. Hvad skal der bevises i induktionsskridtet?
    5. Udfør induktionsskridtet. Angiv, hvor du bruger induktionsantagelsen.
    6. Forklar, hvorfor disse skridt udgør et bevis for, at \(P(n)\) er sand for alle \(n \in \mathbb{N}\).
Hvis der er tid:
  • Afsnit 1.7: Opgave 42
E Alle
  • Afsnit 5.1: Opgave 10, 18, 51, 78, 79
  • Generaliser din løsning på opgave 78-79, så den virker for et skakbræt med \(2^n \times 2^n\) felter, for alle \(n \in \mathbb{Z}^+\).
  • Bevis følgende generalisering af den ene af De Morgans Love (nævnt på side 30): \[ \neg (p_1 \vee p_2 \vee \ldots \vee p_n) \: \equiv \: \neg p_1 \wedge \neg p_2 \wedge \ldots \wedge \neg p_n \] Du må gerne bruge, at operatorerne \(\vee\) og \(\wedge\) er associative.
    D.v.s. du må f.eks. gerne bruge følgende generaliseringer af de associative love fra Tabel 1.3.6: \[ p_1 \vee p_2 \vee \ldots \vee p_n \: \equiv \: p_1 \vee (p_2 \vee \ldots \vee p_n) \] \[ p_1 \wedge p_2 \wedge \ldots \wedge p_n \: \equiv \: p_1 \wedge (p_2 \wedge \ldots \wedge p_n) \]
Uge 40
E Alle
E Alle
  • Afsnit 2.3: Opgave 1, 9, 12, 13, 38, 39, 41, 71
    I opgave 39 er der en trykfejl: Henvisningen til opgave 36 burde være til opgave 38.
  • Hvilke af funktionerne i opgave 12 er bijektive?
S Alle
  • Hjælp hinanden med at løse følgende opgave:
    Ved en forelæsning beviste vi følgende formel: \(\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1}-1\).
    I denne opgave skal I finde en formel for summen \( \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right)^i \). I kan gribe det an på følgende måde:
    1. Illustrer de første summer ved at farve brøkdele af et linjestykke af længde 1.
      (For \(n=1\) farves halvdelen af linjestykket, for \(n=2\) farves \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) af linjestykket, o.s.v.)
    2. Observer, at størrelsen, der lægges til, altid er præcis halvdelen af det, der mangler for at dække hele linjestykket.
    3. Formuler observationen som et induktionsbevis.
  • Løs nedenstående tidligere eksamensopgaver. Anvend samme fremgangsmåde som i S-timerne i uge 38.
Uge 41
E Alle
  • Gennemgå opgaverne fra Test 2
  • Gennemgå induktionsopgaven fra S-timerne i uge 40.
  • Afsnit 2.5: Opgave 2, 16, 15
  • Er \( \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \) endelig, tælleligt uendelig eller overtællelig?
  • Afsnit 5.3: Opgave 1, 7
  • Eksamen januar 2009 opgave 4
  • Bevis, at alle heltal \(n \geq 8\) kan skrives som en sum af 3-taller og 5-taller.
    Findes der et heltal \(k\), sådan at alle heltal \(n \geq k\) kan skrives som en sum af 4-taller og 5-taller?
  • Hvad er der galt med følgende "bevis"?
    Påstand: Alle naturlige tal \(n\) er lige.
    "Bevis": Ved stærk induktion over \(n\)
    Basis: 0 er et lige tal.
    Induktionsantagelse: Ethvert naturligt tal \(m < n \) er lige. D.v.s. \( m = 2k \), hvor \( k \in \mathbb{Z} \).
    Induktionsskridt: \[ \begin{align*} n & = (n-2) + 2 \\ & = 2k+2, \;\;\: \text{ hvor } k \in \mathbb{Z} \;\;\; \text{ (ifølge ind.ant.)} \\ & = 2(k+1), \text{ hvor } k+1 \in \mathbb{Z} \end{align*} \]
Hvis der er tid:
  • Afsnit 2.5: Opgave 27, 3 c)
E Alle
  • Afsnit 5.2: Opgave 10, 25
  • Afsnit 9.1: Opgave 1 a,b, 3 a, 7 a,f, 32, 33, 36 b,d, 40
  • Afsnit 9.3: Opgave 1 b, 9 a,c, 18 b, 31
Uge 42
Efterårsferie
Uge 43
E Alle
  • Afsnit 9.4: Opgave 1
  • Find den transitive lukning af relationen \(R\) = {(1,1),(2,3),(3,4),(3,5),(5,1)}
  • Eksamen oktober 2010 opgave 5 g) og h)
  • Afsnit 9.5: 1, 2 b,d, 21, 22
Hvis der er tid:
  • Afsnit 9.5: Opgave 3 a-c
E Alle
  • Afsnit 9.5: 26, 27, 41, 47 a
  • Afsnit 9.6: Opgave 1 a-d, 5, 7 a-b, 14, 17, 24*, 26
    *: I opgave 24 kan du nøjes med at se på {a,b,c} i stedet for {a,b,c,d}.
  • Eksamen oktober 2011 opgave 6
Hvis der er tid:
  • Afsnit 9.5: 15
    Angiv ækvivalensklassen for (1,2) m.h.t. relationen \( R \)
S Alle Hjælp hinanden med at løse følgende opgaver:
Uge 44
E DM549
MM537
MM540
  • Gennemgå opgaverne fra Test 3
Uge 45
E MM537
  • Afsnit 5.3: Opgave 23, 25, 26, 40, 41, 45, 46
E DM549
  • Afsnit 5.3: Opgave 23, 25, 26, 40, 41, 45, 46
  • Afsnit 4.1: Opgave 1, 2, 3, 4, 6, 8
E DM549
  • Afsnit 4.1: Opgave 13 a, e-g, 21, 22, 33, 34, 41
  • Afsnit 4.3: Opgave 1 a,c, 3 a,b, 5
Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.3: 12
S DM549 Tag eksamenstesten fra januar 2017. Den ligger i Blackboard.
I kan springe opgave 10 og 13 over, da stoffet endnu ikke er gennemgået.
Diskuter jeres resultater.
S MM537
MM540		 Tag eksamenstesten fra januar 2017. Den ligger i Blackboard.
I kan springe opgave 7 og 8 over, da stoffet ikke længere er pensum i MM537/MM540.
Diskuter jeres resultater.
Uge 46
E DM549
  • Gennemgå opgaverne fra Test 4
  • Afsnit 4.3: Opgave 16 a,b, 25 a,b, 27 a,b, 28, 33 b, 40 c
  • Afsnit 4.4: Opgave 1, 3, 5 a,b, 9
Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.4: Opgave 7, 8
Uge 47
E DM549 Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.4: Opgave 29, 30
E DM549
  • Eksamen januar 2016 opgave 7
  • Afsnit 2.6: Opgave 28, 29
  • Afsnit 10.1: Opgave 10 (3-5)
  • Afsnit 10.2: Opgave 1, 2, 5, 7, 11, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 62
S DM549 Tag eksamenstesten fra april 2017. Den ligger i Blackboard.
I kan springe opgave 18 over, da stoffet endnu ikke er gennemgået.
Diskuter jeres resultater.
S MM537
MM540		 Tag eksamenstesten fra april 2017. Den ligger i Blackboard.
I kan springe opgave 9 og 10 over, da stoffet ikke længere er pensum i MM537/MM540.
Diskuter jeres resultater.
Uge 48
E DM549
  • Gennemgå opgaverne fra Test 5
  • Afsnit 10.3: Opgave 1, 3, 5, 7, 38, 39, 40, 49
  • Afsnit 10.4: Opgave 1, 3, 4, 5, 6, 12, 14
E DM549
  • Afsnit 11.1: Opgave 1, 3, 9, 14, 15, 16
  • Afsnit 2.4: Opgave 1, 9 a,b,c, 18, 29, 31, 33
Uge 49
E DM549
  • Afsnit 2.4: Opgave 35, 36, 39, 45, 46
  • Afsnit 9.1 i Adams, Essex: Opgave 1, 2, 5, 6, 14, 15, 27, 28, 29
E DM549
  • Afsnit 9.2 i Adams, Essex: Opgave 1, 9, 15, 16, 17, 21, 23
Uge 50
E DM549
  • Gennemgå opgaverne fra Test 6
  • Afsnit 9.3 i Adams, Essex: Opgave 1, 10, 11, 17, 18, 19, 25
S DM549 Tag eksamenstesten fra januar 2020. Den ligger i Blackboard.
Diskuter jeres resultater.
S MM537
MM540		 Tag eksamenstesten fra januar 2020. Den ligger i Blackboard.
I kan springe opgave 8 og 9 over, da stoffet ikke længere er pensum i MM537/MM540.
Diskuter jeres resultater.
Uge 51
E DM549