DM547 - Diskret Matematik
DM549 - Diskrete Metoder til Datalogi
MM537 - Introduktion til Matematiske Metoder
MM540 - Matematiske Metoder for Økonomi

Efterår 2018
Lene Monrad Favrholdt

Opgaver

Type Kursus Opgaver
Uge 37
T Alle
  • Afsnit 1.1: Opgave 1, 5, 13, 31, 33
  • Afsnit 1.2: Opgave 37, 39, 41
T Alle
  • Angiv for hvert af de følgende par af udsagn, om
    (a) \(\Rightarrow\) (b), \(\,\) (b) \(\Rightarrow\) (a), \(\,\) (a) \(\Leftrightarrow\) (b) \(\,\) eller \(\,\) ingen af delene.

     (a) \(p \vee q\) (b) \(p \wedge q\)
     (a) \(\neg p \vee q\) (b) \(p \Rightarrow q\)
     (a) \(\neg (p \wedge q)\) (b) \(p \vee q\)
     (a) \((p \vee q) \wedge (p \vee r) \;\;\; \) (b) \(p \vee (q \wedge r)\)
     (a) \(\neg p \Rightarrow q\) (b) \(\neg q \Rightarrow p\)

  • Afsnit 1.3: Opgave 6, 7, 19
  • Afsnit 1.4: Opgave 5, 10, 11, 15, 17
Hvis der er tid:
  • Afsnit 1.4: Opgave 47, 53, 55
Uge 38
T Alle
  • Afsnit 1.4: Opgave 54, 62
  • Afsnit 1.5: Opgave 9 a-d, 19, 27 a-d, 30, 38, 39
  • Afsnit 1.7: Opgave 1
T Alle
  • Afsnit 1.7: Opgave 5, 18, 29, 36, 41, 42, 43
  • Lad \(n \in \mathbb{N}\), og lad \(P(n)\) være udsagnet \[\sum_{i=0}^n 3^i = \frac12\left(3^{n+1}-1\right)\] Denne opgave går ud på at bevise, at \(P(n)\) er sand for alle \(n \in \mathbb{N}\), ved hjælp af induktion.
    1. Hvad er udsagnet \(P(0)\)?
    2. Bevis \(P(0)\), d.v.s. udfør basisskridtet.
    3. Opskriv induktionsantagelsen.
    4. Hvad skal der bevises i induktionsskridtet?
    5. Udfør induktionsskridtet. Angiv, hvor du bruger induktionsantagelsen.
    6. Forklar, hvorfor disse skridt udgør et bevis for, at \(P(n)\) er sand for alle \(n \in \mathbb{N}\).
SF DM549
MM537		 (Det er kun DM549 og MM537, som har skemalagte SF-timer (studiegruppe-timer), men også studerende i DM547 og MM540 kan have glæde af at lave øvelserne.)
  • Hvis I har brug for at genopfriske regneregler, kan I bruge SOWISO. Her er en vejledning til at komme i gang. Tag et kig på "Calculating with variables" og "Exponential functions and logarithms (2) --> Rules of calculation for exponential functions".
  • Hjælp hinanden med at løse induktions-opgaven til øvelsestimerne i denne uge.
Uge 39
T Alle
  • Afsnit 1.8: Opgave 11, 32
  • Afsnit 5.1: Opgave 10, 18, 51, 78, 79
  • Generaliser din løsning på opgave 78-79, så den virker for et skakbræt med \(2^n \times 2^n\) felter, for alle \(n \in \mathbb{Z}^+\).
T Alle
Uge 40
T Alle
  • Afsnit 2.2: Opgave 21, 28, 32, 53
  • Afsnit 2.3: Opgave 9, 12, 13
  • Hvilke af funktionerne i opgave 12 er bijektive?
T Alle
  • Afsnit 2.3: Opgave 38, 39, 41, 71
    I opgave 39 er der en trykfejl: Henvisningen til opgave 36 burde være til opgave 38.
  • Afsnit 5.3: Opgave 1, 7
  • Eksamen januar 2009 opgave 4
  • Bevis, at alle heltal \(n \geq 8\) kan skrives som en sum af 3-taller og 5-taller.
    Findes der et heltal \(k\), sådan at alle heltal \(n \geq k\) kan skrives som en sum af 4-taller og 5-taller?
  • Hvad er der galt med følgende "bevis"?
    Påstand: Alle naturlige tal \(n\) er lige.
    "Bevis": Ved stærk induktion over \(n\)
    Basis: 0 er et lige tal.
    Induktionsantagelse: Ethvert naturligt tal \(m < n \) er lige. D.v.s. \( m = 2k \), hvor \( k \in \mathbb{Z} \).
    Induktionsskridt: \[ \begin{align*} n & = (n-2) + 2 \\ & = 2k+2, \;\;\: \text{ hvor } k \in \mathbb{Z} \;\;\; \text{ (ifølge ind.ant.)} \\ & = 2(k+1), \text{ hvor } k+1 \in \mathbb{Z} \end{align*} \]
SF DM549
MM537		 (Det er kun DM549 og MM537, som har skemalagte SF-timer (studiegruppe-timer), men også studerende i DM547 og MM540 kan have glæde af at lave øvelserne.)
  • Hjælp hinanden med at løse følgende opgave:
    Ved forelæsningen d. 17/9 beviste vi følgende formel: \(\sum_{i=0}^{n} 2^i = 2^{n+1}-1\).
    I denne opgave skal I finde en formel for summen \[ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right)^i \] I kan gribe det an på følgende måde:
    1. Illustrer de første summer ved at farve brøkdele af et linjestykke af længde 1. (For \(n=1\) farves halvdelen af linjestykket, for \(n=2\) farves \(\frac{3}{4}\) af linjestykket, o.s.v.)
    2. Observer, at størrelsen, der lægges til, altid er præcis halvdelen af det, der mangler for at dække hele linjestykket.
    3. Formuler observationen som et induktionsbevis.
  • Som opvarmning til testen i uge 41 (for DM547 og DM549) kan I tage testen fra sidste år. Den ligger i Blackboard, under "- E-test" i menuen til venstre.
  • Som opvarmning til den obligatoriske opgave (for MM537 og MM540) kan I lave nedenstående tidligere eksamensopgaver. Der ligger løsningsforslag til disse opgaver på kursus-hjemmesiden, men kig ikke på løsningsforslagene før til allersidst.
    1. Fordel opgaverne imellem jer. Når I hver især har skrevet en besvarelse til jeres opgave, bytter I med sidemanden.
    2. Læs den opgave, du har fået, grundigt, og giv konstruktive kommentarer.
      Er løsningen korrekt?
      Har du nemt ved at forstå besvarelsen?
      Hvad kunne forbedres?
      Er der for få eller for mange detaljer?
    3. Sammenlign jeres løsninger med løsningsforslaget på kursus-hjemmesiden.
Uge 41
T Alle
  • Afsnit 5.2: Opgave 10, 25
  • Afsnit 9.1: Opgave 1 a,b, 3 a, 7 a,f, 32, 33, 36 b,d, 40
  • Afsnit 9.3: Opgave 1 b, 9 a,c, 18 b, 31
T Alle
  • Afsnit 9.4: Opgave 1
  • Find den transitive lukning af relationen \(R\) = {(1,1),(2,3),(3,4),(3,5),(5,1)}
  • Eksamen oktober 2010 opgave 5 g)
  • Afsnit 9.5: 1 a-c,e, 2, b,d, 21, 22, 26, 27, 41, 47 a
Hvis der er tid:
  • Afsnit 9.5: Opgave 3 a-c, 15
  • Angiv ækvivalensklassen for (1,2) m.h.t. relationen \( R \) i opgave 15.
Uge 42: Efterårsferie
Uge 43
T DM549
MM537
MM540
  • Afsnit 9.6: Opgave 1 a,b, 3, 5, 7 a, 14, 17, 24, 26
    I opgave 24 kan du nøjes med at se på {a,b,c} i stedet for {a,b,c,d}.
  • Afsnit 4.1: Opgave 1, 2, 3, 4
T DM549
MM537
MM540
  • Afsnit 4.1: Opgave 6, 8, 13 a, e-g, 21, 22, 33, 34, 41
  • Afsnit 4.3: Opgave 1 a,c, 3 a,b, 5
Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.3: 12
SF DM549
MM537		 (Det er kun DM549 og MM537, som har skemalagte SF-timer (studiegruppe-timer), men også studerende i DM547 og MM540 kan have glæde af at lave øvelserne.)
  • Hjælp hinanden med at løse opgave 3, 4, 6, 8, 21, 22 og 41 i afsnit 4.1
Uge 44
T DM547
  • Afsnit 9.6: Opgave 1 a,b, 3, 5, 7 a, 14, 17, 24, 26
    I opgave 24 kan du nøjes med at se på {a,b,c} i stedet for {a,b,c,d}.
  • Afsnit 4.1: Opgave 1, 2, 3, 4
T DM547
  • Afsnit 4.1: Opgave 6, 8, 13 a, e-g, 21, 22, 33, 34, 41
  • Afsnit 4.3: Opgave 1 a,c, 3 a,b, 5
Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.3: 12
T DM549
MM537
MM540
  • Afsnit 4.3: Opgave 16 a,b, 25 a,b, 26 a,b, 28
  • Afsnit 2.5: Opgave 2, 16, 15
  • Eksamen oktober 2011 opgave 6
Hvis der er tid:
  • Afsnit 2.5: Opgave 27, 30
T DM549 Hvis der er tid:
  • Afsnit 4.4: Opgave 7, 8, 29, 30
Uge 45
T DM549
MM537
T DM549
  • Afsnit 4.4: Opgave 33, 37
  • Afsnit 2.4: Opgave 1, 9 a,b,c, 18, 29, 31, 35, 36, 39
SF DM549
MM537		 (Det er kun DM549 og MM537, som har skemalagte SF-timer (studiegruppe-timer), men også studerende i DM547 og MM540 kan have glæde af at lave øvelserne.)
  • Diskuter opgaverne fra testen om mandagen og prøv at blive enige om, hvilke svar der er de rigtige.
Uge 46
T DM547
  • Afsnit 4.3: Opgave 16 a,b, 25 a,b, 26 a,b, 28
  • Afsnit 2.6: Opgave 1, 2, 3 a,b, 10, 18
    • Transponer matricen A fra opgave 3a og 3b.
  • Eksamen januar 2016 opgave 7
Hvis der er tid:
  • Afsnit 2.6: Opgave 5, 15
  • Kan du bevise, at din formel fra opgave 15 er korrekt?
T DM549
  • Afsnit 2.6: Opgave 1, 2, 3 a,b, 5, 10, 15, 18
    • Transponer matricen A fra opgave 3a og 3b.
    • Kan du bevise, at din formel fra opgave 15 er korrekt?
  • Eksamen januar 2016 opgave 7
Uge 47
T DM549
  • Afsnit 2.4: Opgave 33, 45, 46
  • Afsnit 10.1: Opgave 3, 4, 5, 7, 8
  • Afsnit 10.3: Opgave 1, 3, 5, 7, 15, 38, 39, 40, 49
SF DM549 (Det er kun DM549 og MM537, som har skemalagte SF-timer (studiegruppe-timer), men også studerende i DM547 og MM540 kan have glæde af at lave øvelserne.)
  • Løs eksamenssættet fra januar 2017 (spring opgave 13 over).
    Bemærk, at sættet ligger på kursus-hjemmesiden både med og uden angivelse af rigtige svar. Prøv at blive enige om svarene, inden I checker facit.
SF MM537 (Det er kun DM549 og MM537, som har skemalagte SF-timer (studiegruppe-timer), men også studerende i DM547 og MM540 kan have glæde af at lave øvelserne.)
  • Løs eksamenssættet fra januar 2017.
    Bemærk, at sættet ligger på kursus-hjemmesiden både med og uden angivelse af rigtige svar. Prøv at blive enige om svarene, inden I checker facit.
Uge 48
T DM549
  • Afsnit 10.2: Opgave 1, 2, 5, 7, 11, 18, 19, 21, 22, 23, 62
  • Afsnit 11.1: Opgave 1, 3, 9, 14, 15
Uge 49
T DM549
  • Afsnit 11.1: Opgave 45, 46
  • Afsnit 9.1 i Adams, Essex: Opgave 1, 2, 5, 6, 14, 15, 29, 35, 36
SF DM549
MM537		 (Det er kun DM549 og MM537, som har skemalagte SF-timer (studiegruppe-timer), men også studerende i DM547 og MM540 kan have glæde af at lave øvelserne.)
  • Løs eksamenssættet fra januar 2018. Det ligger i Blackboard under "- E-test". Diskuter jeres svar.
    I DM549 kan I springe de to sidste spørgsmål (spørgsmål 20 og 21) over. Disse er ikke pensum i år.
Uge 50
T DM549
  • Afsnit 9.1 i Adams, Essex: Opgave 27, 28
  • Afsnit 9.2 i Adams, Essex: Opgave 1, 9, 15, 16, 17, 21, 23, 24
  • Eksamen februar 2016 opgave 6
Uge 51
T DM549
  • Afsnit 9.3 i Adams, Essex: Opgave 1, 10, 11, 17, 18, 19, 23, 25
  • Eksamen april 2017 opgave 18